使用方式

1輸入函數. 以 x 為變數輸入 f(x)，例如 x^2 + sin(x)。用 ^ 表示次方，可使用 sin、cos、exp、ln、sqrt 等函數。

2設定積分限. 輸入下限 a 與上限 b。每個限可以是數字，也可以是 pi、2*pi 或 1/2 等運算式。

3讀取結果. 定積分 ∫ₐᵇ f(x) dx 立即顯示。按 Copy result 複製結果，或點選範例晶片試算常見積分。

適合誰用

微積分學生在不開啟 Wolfram Alpha 或繪圖計算機的情況下，驗算作業或教科書中的定積分。

工程師與物理學家直接從公式求曲線下面積，包括功、位移或機率等應用。

資料與財務分析師對模型函數在某範圍積分，取得總量或期望值。

教師示範定積分的值如何隨積分限移動而變化，並讓全班即時編輯數字觀察結果。

任何人想要快速取得 ∫ₐᵇ f(x) dx 的數值，包括像 ∫₀¹ 1/√x dx 這樣仍然收斂的瑕積分。

所有運算均在本機執行：函數在頁面上解析，以自適應數值方法積分，不上傳也不儲存任何資料。積分限可以是數字，也可以是 pi、2*pi 或 1/2 等運算式，結果在輸入時即時更新。這是一個定積分計算器，回傳指定區間的數值面積，而非符號形式的反導函數。

常見問題

積分計算器是免費的嗎？

是的，完全免費，無需註冊，計算次數不限。所有計算在瀏覽器中執行，您輸入的內容不會上傳至任何伺服器。

它計算定積分還是不定積分？

它計算定積分：您提供上下限，即可取得曲線在兩限之間的數值面積。本工具不回傳不定積分（帶有 + C 的符號反導函數）。

計算器如何求積分？

它將您的函數解析為快速求值器，並以自適應 Simpson 法則積分，這種數值方法會在曲線急遽彎曲處細分區間，直到結果收斂為止，對性質良好的函數可達約 8 至 10 位有效數字的精度。

可以使用哪些函數與常數？

可使用 +、-、*、/ 與 ^，括號，常數 pi 與 e，以及 sin、cos、tan、asin、acos、atan、exp、ln、log（以 10 為底）、sqrt、cbrt 與 abs 等函數。2x 或 2sin(x) 這樣的隱式乘法也適用。

積分限可以是 pi 或分數嗎？

可以。每個限可以是數字，也可以是 pi、2*pi、pi/4 或 1/2 等運算式。若下限大於上限，結果的正負號會翻轉，與積分定義完全一致。

可以處理瑕積分嗎？

可以處理許多收斂的瑕積分，例如 ∫₀¹ 1/√x dx = 2，方式是在奇點附近仔細取樣，並將結果標示為近似值。若積分發散，例如 ∫₋₁¹ 1/x dx，會提示積分不收斂，而非輸出錯誤數字。不支援無限積分限。

結果有多精確？

對於光滑函數，數值通常精確至 8 至 10 位有效數字，遠超日常需求。在奇點附近，工具會給出最佳估計並標示為近似，讓您隨時知道最後幾位數字何時需要謹慎看待。

為什麼我的結果和精確答案有些許差異？

由於是數值方法，答案可能與精確符號值在最後一兩位數字有所不同，例如 2/3 可能回傳 0.6666666667。按所需精度四捨五入，兩個值即可吻合。

免費積分計算器

積分計算器是什麼？